Derivadas y extremos: un ejercicio resuelto paso a paso

El problema y lo que vas a comprobar

Considera f(x) = x³ − 3x en el intervalo [−2, 2]. Vamos a determinar dónde crece y decrece, sus extremos relativos y su máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. Es un ejemplo didáctico propio, sin vínculo con una convocatoria concreta de la PAU.

Conviene separar las tres preguntas. Crecimiento describe cómo cambia la función en un tramo. Un extremo relativo compara un punto con los cercanos. Un extremo absoluto compara su valor con todos los valores del intervalo. Un máximo relativo no tiene por qué ser el máximo absoluto.

1. Deriva y encuentra los puntos críticos

La derivada es f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Para hallar los puntos donde vale cero, resuelve 3(x − 1)(x + 1) = 0. Obtienes x = −1 y x = 1. Ambos pertenecen al intervalo del problema.

Como la función es un polinomio, está definida, es continua y es derivable en todos los números reales. En otros problemas también tendrías que comprobar el dominio y los puntos donde la derivada no existe. No puedes añadir a tu lista de candidatos un punto que no pertenezca al dominio.

2. Estudia el signo de la derivada

Los puntos −1 y 1 separan tres tramos. Si x < −1, los dos factores (x − 1) y (x + 1) son negativos, por lo que su producto es positivo. Si −1 < x < 1, el primer factor es negativo y el segundo positivo: el producto es negativo. Si x > 1, ambos son positivos y el producto es positivo.

Dentro del intervalo pedido, f crece en (−2, −1), decrece en (−1, 1) y vuelve a crecer en (1, 2). Puedes comprobar el signo usando un punto de cada tramo, como −1,5; 0; y 1,5. Elegir varios puntos dentro del mismo tramo no sustituye al análisis de todos los tramos.

3. Clasifica los extremos relativos

En x = −1 la derivada pasa de positiva a negativa: la función crece antes y decrece después. Por tanto, hay un máximo relativo. Su valor es f(−1) = −1 + 3 = 2, y el punto de la gráfica es (−1, 2).

En x = 1 la derivada pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo relativo. Como f(1) = 1 − 3 = −2, el punto es (1, −2). No basta con escribir que f′ vale cero: el cambio de signo es lo que justifica la clasificación en este ejercicio.

4. Compara los candidatos al extremo absoluto

La continuidad en el intervalo cerrado garantiza que se alcanzan un máximo y un mínimo absolutos. Evalúa la función en los dos puntos críticos interiores y en los dos extremos del intervalo: f(−2) = −2; f(−1) = 2; f(1) = −2; f(2) = 2.

El máximo absoluto es 2 y se alcanza en x = −1 y x = 2. El mínimo absoluto es −2 y se alcanza en x = −2 y x = 1. Este ejemplo muestra que un mismo valor extremo puede alcanzarse en más de un punto. No elijas uno y descartes el otro porque no sea un punto crítico interior.

Ahora inténtalo: un ejercicio diferente

Estudia g(x) = x³ − 12x en [−3, 3]. Antes de leer la solución, escribe la derivada, divide el intervalo usando los puntos críticos, determina los signos y evalúa todos los candidatos a máximo y mínimo absolutos. Conserva los cálculos para comprobar en qué paso aparece un posible error.

Errores que puedes detectar al corregirte

Si obtienes que la función crece entre los dos puntos críticos, revisa el signo de los factores, no cambies el resultado por intuición. Si tu extremo absoluto está fuera del intervalo, has olvidado la restricción del enunciado. Si escribes «máximo = −2», aclara si estás hablando de la posición x o del valor de la función: son datos diferentes.

Para una solución completa, termina con una frase que responda a cada pregunta del problema. La lista de cálculos sirve de evidencia; la conclusión explica qué significa. Si tu convocatoria tiene criterios específicos de notación o justificación, compáralos con tu desarrollo.

Recursos y siguientes pasos

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• Preparar un simulacro con exámenes anteriores